O teorema de Pauli-Gauss

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Seja $\vec{v}$ um campo vetorial uniforme (ou seja, constante espacialmente), e

um campo escalar (uma função real). Vamos aplicar o teorema do divergente ao campo vetorial $a\vec{v}$ . Temos

$\begin{displaymath} \int dV div(a\vec{v})=\int_S dS a\vec{v}.\vec{n} \end{displaymath}$

(49)

Por outro lado,

$\begin{displaymath} div(a\vec{v})=a\;div\vec{v}+grad\;a.\vec{v} \end{displaymath}$

(50)

e, como $\vec{v}$ é constante, $div\;\vec{v}=0$ . Logo,

$\begin{displaymath} div(a\vec{v})=grad\;a.\vec{v} \end{displaymath}$

(51)

Levando este resultado à Eq.(49), temos

$\begin{displaymath} \int dV grad\;a.\vec{v}=\int_S dS a \vec{v}.\vec{n} \end{displaymath}$

(52)

Mas $\vec{v}$ é constante, portanto pode ser colocado fora das integrais:

$\begin{displaymath} \vec{v}.\int dV grad\;a = \vec{v}.\int_S dS a\;\vec{n} \end{displaymath}$

(53)

Como $\vec{v}$ é arbitrário (fora o fato de ser constante), temos

$\begin{displaymath} \int dV grad\;a = \int_S dS a\;\vec{n} \end{displaymath}$

(54)

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Henrique Fleming 2002-12-24