O ``cálculo simples''

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O ``cálculo simples''

Trata-se de calcular

$\begin{displaymath} \vec{r}\times rot\;\vec{M} \end{displaymath}$

(41)

A i-ésima componente desta quantidade é:

$\begin{eqnarray*} \left( \vec{r}\times rot\vec{M}\right)_i & = & \epsilon_{ijk}x... ...\partial_l M_m \ & = & x_j \partial_i M_j - x_j \partial_j M_i \end{eqnarray*}$

Ora,

$\begin{displaymath} x_j \partial_i M_j=\partial_i(\vec{r}.\vec{M})-\delta_{ij}M_... ...M}) - M_i=\left(\vec{\nabla}(\vec{r}.\vec{M})-\vec{M}\right)_i \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} x_j \partial_j M_i=\partial_j(x_j M_i)-(\partial_j x_j)M_i=div(M_i \vec{r})-3M_i \end{displaymath}$

Levando à expressão anterior, temos

$\begin{displaymath} \left(\vec{r}\times\vec{M}\right)_i=\left(\vec{\nabla}(\vec{r}.\vec{M})-\vec{M}\right)_i - div(M_i \vec{r}) + 3 M_i \end{displaymath}$

(42)

ou, finalmente,

$\begin{displaymath} \left(\vec{r}\times rot\vec{M} \right)_i= 2\vec{M}_i + \left(\vec{\nabla}( \vec{r}.\vec{M})\right)_i - div(M_i\vec{r}) \end{displaymath}$

(43)

que era o resultado procurado.

Henrique Fleming 2002-12-24