Henrique Fleming
26-12-2001
A teoria dos grupos de Lie é de grande importância para a Física, constituindo-se mesmo em um dos elementos básicos de sua linguagem (por exemplo, nas teorias de gauge não-abelianas).Isto seria de se esperar, pois os grupos de Lie são elementos fundamentais na geometria diferencial: grupos de Lie aparecem em destaque na teoria das conexões de Ehresmann, que fornecem a matemática das teorias de gauge (embora estas tenham sido descobertas, inclusive em sua relação com os grupos de Lie, independentemente pelos físicos).
Apresentamos aqui duas versões, aparentemente muito distintas, da teoria dos grupos de Lie.Uma, baseada em trabalho de Schwinger, utiliza o fato de que as simetrias na mecânica quântica são implementadas por operadores unitários, para simplificar a matemática, restringindo-se à teoria de Lie para os grupos unitários. A outra versão é uma introdução muito simplificada da maneira atual de se tratar grupos de Lie, apresentados como variedades diferenciáveis com uma estrutura adicional de grupo.
Enquanto esta última é muito mais precisa e geral, a primeira, graças às particularizações permitidas pelo problema físico, permite progredir a uma velocidade vertiginosa, e atingir, em poucas páginas, resultados de grande profundidade, como a obtenção da álgebra de Lie dos grupos de relatividade (Galileu e Einstein), incluíndo relações de comutação que parecem próprias da mecânica quântica, mas que são, na realidade, prévias a ela.
Ao longo do tempo iremos aprimorando essas notas. Um dos primeiros objetivos propostos é tratar, à luz da álgebra de Lie do grupo de Galileu, a relação entre a mecânica clássica e a mecânica quântica no que parece ser o nível mais profundo: reconhecer a àlgebra dos parênteses de Poisson da mecânica clássica como uma realização da mesma álgebra de Lie que, no caso da mecânica quântica, é descoberta no estudo dos operadores unitários associados a pares de observadores equivalentes.